解析幾何の平行移動同次

例 1#

与えられた楕円 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ があり、直線 $l:y=kx+m$ が楕円 $C$ と $A, B$ の 2 点で交わる（ $A,B$ は左右の頂点ではない）とし、 $AB$ を直径とする円が $( 0,0 )$ を通るとき、証明せよ：直線 $l$ は定円に接する。

分析#

問題の意図から、図を描くと $OA\bot OB$ であることがわかる。したがって $k_{OA}\bullet k_{OB}=-1$ となり、したがって $\frac{y}{x}$ に関する一元二次方程式を構築でき、韋達の定理により解くことができる。

解#

楕円の方程式を次のように変形する：

$3x^2+4y^2=12$

直線 $l$ が原点を通らないため、直線 $l$ の方程式を $mx+ny=1$ と仮定する。したがって¹

$3x^2+4y^2=12\bullet 1^2=12\bullet {(mx+ny)}^2$

簡略化すると、

$(12n ^2-4 )y ^2+24mn \bullet xy+ (12m ^2-3 )x ^2=0$

方程式の両辺を $x ^2$ で割ると、

$(12n ^2-4 ) \frac{y ^2}{x ^2} +24mn \bullet \frac{y}{x}+12m ^2-3=0$

明らかに ${ \Delta } >0$ であり、韋達の定理により、

$k_{OA} \bullet k_{OB}= \frac{12m ^2-3}{12n ^2-4}=-1$

したがって、

$12(m^2+n^2)=7$

原点 $(0,0)$ から直線 $l$ までの距離は、

$d=\frac{1}{\sqrt{m^2+n^2}}=\sqrt{\frac{12}{7}}=\frac{\sqrt{84}}{7}$

したがって、直線 $l$ から $(0,0)$ までの距離は定値であり、直線 $l$ は中心が $(0,0)$ で半径が $\frac{\sqrt{84}}{7}$ の円に接する。

上記の例題は、平行移動同次の基本的な考え方「同次化」を示しています。「同次化」の考え方は、この種の問題において、方程式の各項を二次に変えることです。しかし、「平行移動」とは何でしょうか？どのように使用するのでしょうか？次の例題を見てみましょう。

例 2#

与えられた楕円 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ があり、直線 $l: y=kx+b$ が楕円 $C$ と $A, B$ の 2 点で交わる（ $A, B$ は左右の頂点ではない）とし、 $AB$ を直径とする円が楕円 $C$ の右頂点を通るとき、証明せよ：直線 $l$ は定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

分析#

図を描くことで、前の問題の「原点 $O$ 」が楕円の右頂点（点 $D$ とする）に変わり、 ${k}_{DA}\bullet k_{DB}$ は依然として定値 $-1$ であることがわかります。したがって、点 $D$ を原点に変えること、すなわち「座標系を平行移動する」ことを考えることができます。

解#

座標系を右に 2 単位平行移動すると、図のように、新しい座標系での楕円の方程式は次のようになります：

$\frac{{ (x + 2)}^ 2 }{ 4 } + \frac{y ^2}{3}=1$

すなわち、

$3x ^2+12x+4y ^2=0$

直線 $l$ が原点を通らないため、直線 $l$ の方程式を $mx+ny=1$ と仮定します。したがって、

$3x ^2+12x \bullet (mx+ny)+4y ^2=0$

簡略化すると、

$4y ^2+12n \bullet xy+ (12m+3 )x ^2=0$

方程式の両辺を $x ^2$ で割ると、

$4 \frac{y ^2}{x ^2}+12n \bullet \frac{y}{x}+ (12m+3 )=0$

$AB$ を直径とする円が楕円 $C$ の右頂点を通るため、

$k_{DA} \bullet k_{DB}=-1$

明らかに ${ \Delta } > 0$ であり、韋達の定理により、

$k_{DA} \bullet k_{DB}= \frac{12m+3}{4}=-1$

解くと、

$m=- \frac{7}{12}$

直線方程式に代入すると、

$- \frac{7}{12}x+ny=1$

$y=0$ とすると、

$x=- \frac{12}{7 }$

したがって、直線 $l$ は定点 $(-\frac{12}{7}, 0)$ を通り、原座標系では点 $( \frac{2}{7}, 0)$ となります。

上記の 2 つの例題を通じて、平行移動同次法の基本原理を説明しました。この方法は計算の難易度を大幅に下げます。平行移動同次の使用条件を推測することができます：傾きの積または傾きの和があるときです。では、他にもっと広範な使用条件はあるのでしょうか？次の問題を見てみましょう。

例 3#

与えられた双曲線 $C$ が双曲線 $\frac{x ^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ の漸近線と同じであり、点 $A(2,3)$ が $C$ 上にあるとき、直線 $l$ が双曲線 $C$ と $P, Q$ の 2 点で交わり、直線 $AP, AQ$ が直線 $x =2$ に対して対称であるとき。

$C$ の方程式を求めよ； $(\frac{y^2}{6}-\frac{x^2}{8}=1)$
直線 $l$ の傾きを求めよ。

解#

問題の意図から、直線 $l$ の傾きが存在することがわかります。

直線 $AP, AQ$ が直線 $x =2$ に対して対称であるため、

$k_{AP} + k_{AQ} =0$

座標系を上に 3 単位平行移動し、右に 2 単位平行移動すると、図のように、新しい座標系での楕円の方程式は次のようになります：

$\frac{ (y +3 ) ^ 2 } {6} - \frac{ (x +2 ) ^ 2 }{ 8 } =1$

すなわち、

$4y ^ 2 - 3 x ^ 2 +24 y - 12 x =0$

直線 $l$ が原点を通らないため、直線 $l$ の方程式を $mx + ny =1$ と仮定します。したがって、傾き $k=-\frac{m}{n}$ となります。

$4 y ^ 2 - 3 x ^ 2 +24 y \bullet(mx+ny) - 12 x \bullet (mx+ny) =0$

簡略化すると、

$( 4+24 n )y ^ 2 + ( 24 m - 12 n ) \bullet xy - ( 3+12 m )x ^ 2 =0$

方程式の両辺を $x ^ 2$ で割ると、

$( 4+24 n ) \frac{y ^ 2 }{x ^ 2 } + ( 24 m -12 n ) \frac{y}{x} - ( 3+12 m )=0$

明らかに $\Delta>0$ であり、韋達の定理により、

$k_{AP} + k_{AQ} = - \frac{24m-12n}{4+24n}=\frac{3n-6m}{1+6n}=0$

したがって、

$3n - 6m = 0$

したがって、

$k=-\frac{m}{n}=-\frac{1}{2}$

したがって、直線 $l$ の傾きは $- \frac{1}{2}$ です。

傾きに関する条件があるか、または問題から傾きに関する等式を導き出すことができれば、平行移動同次を使用することができることがわかります。

上記の例題はすべて楕円または放物線に関連しており、これらは中心対称の図形ですが、同じ円錐曲線の放物線は中心対称の図形ではありません。したがって、平行移動同次は放物線に対して使用できるのでしょうか？この例題を見てみましょう。

例 4#

与えられた放物線 $C: y^2=4x$ があり、点 $B(1, -2)$ が $C$ 上にあるとき、点 $B$ を通る $C$ の 2 本の弦 $BP$ と $BQ$ を引き、 $k_{BP}\bullet k_{BQ}= -2$ であるとき、証明せよ：直線 $PQ$ は定点を通る。

解#

座標系を下に 2 単位平行移動し、右に 1 単位平行移動すると、図のように、新しい座標系での放物線の方程式は次のようになります：

$(y-2)^2=4(x+1)$

すなわち、

$y^2=4(x+y)$

直線 $l$ が原点を通らないため、直線 $l$ の方程式を $mx+ny=1$ と仮定します。したがって、

$y ^2=4 (x+y )\bullet (mx+ny)$

簡略化すると、

$(4n-1 )y ^2+4 (m+n )\bullet xy+4mx ^2=0$

方程式の両辺を $x ^2$ で割ると、

$(4n-1 )\frac{y ^2}{x ^2}+4(m+n)\bullet \frac{y}{x}+4m=0$

明らかに $\Delta >0$ であり、韋達の定理により、

$k_{BP}\bullet k_{BQ}=\frac{4m}{4n-1}=-2$

したがって、

$2m+4n=1$

直線 $l$ の方程式に代入すると、

$x=2 \\ y=4$

したがって、直線 $l$ は定点 $(2,4 )$ を通り、原座標系では点 $(3, 2)$ となります。

以上が、平行移動同次の解法についての紹介です。この方法は計算の難易度を大幅に下げます。平行移動同次において、「平行移動」は「同次化」のためのものであり、実際には平行移動しなくても同次を構築することができます。

例 5#

（2017 年全国 I 卷理）与えられた楕円 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ があり、4 点 $P_1(1,1),P_2(0,1),P_3(-1,\frac{\sqrt{3}}{2}), P_4(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ の中にちょうど 3 点が楕円上にあるとき。

楕円の方程式を求めよ； $(\frac{x^2}{4}+y^2=1)$
直線 $l$ が点 $P_2$ を通らず、 $C$ と $A, B$ の 2 点で交わるとき、直線 $P_2A$ と $P_2B$ の傾きの和が $-1$ であるならば、証明せよ： $l$ は定点を通る。

分析#

$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ とすると、 $k_{P_2A}=\frac{y_1-1}{x_1},k_{P_2B}=\frac{y_2-1}{x_2}$ であり、平行移動しない場合は、 $\frac{y-1}{x}$ に関する一元二次方程式を構築する必要があります。直線 $l$ は $mx+n(y-1)=1$ と仮定し、楕円の方程式は $\frac{x^2}{4}+{(y-1+1)}^2=1$ に変形でき、 $y-1$ を全体として扱うと、 $\frac{x^2}{4}+{(y-1)}^2+2(y-1)=0$ となり、同次化して解くことができます。

解#

楕円の方程式を次のように変形する：

$\frac{x^2}{4}+{(y-1+1)}^2=1$

すなわち、

$\frac{x^2}{4}+{(y-1)}^2+2(y-1)=0$

直線 $l$ が点 $P_2(0, 1)$ を通らないため、直線 $l$ の方程式を $mx+n(y-1)=1$ と仮定します。したがって、

$\frac{x^2}{4}+{(y-1)}^2+2(y-1)\bullet[mx+n(y-1)]=0$

簡略化すると、

$(1+2n)\bullet (y-1)^2+2mx \bullet (y-1)+\frac{x^2}{4}=0$

方程式の両辺を $x^2$ で割ると、

$(1+2n)\bullet \frac{y-1}{x}^2+2m \bullet \frac{y-1}{x}+\frac{1}{4}=0$

明らかに $\Delta > 0$ であり、韋達の定理により、

$k_{P_2A}+k_{P_2B}=-\frac{2m}{1+2n}=-1$

したがって、

$2m=2n+1$

直線 $l$ の方程式に代入すると、

$x=2 \\ y=-1$

したがって、直線 $l$ は定点 $(2,-1)$ を通ります。

実際、「同次化」という考え方は解析幾何学で頻繁に使用されます。例えば、離心率の問題では、 $a, c$ に関する同次式を見つけることで、離心率を解くことができます。

参考資料#

解析几何中的齐次化处理 - 知乎 (zhihu.com)

方程式 $m(x-a)+n(y-b)=1$ は、点を通らないすべての直線を表す。 ↩